DTFT & properties, Convolution

Discrete-Time Fourier Transform

DTFT => 아날로그 시그널은 descrete signal로 변환 (Frequency Spectrum)

DTFT definition

Frequency Spectrum : |X(Ω)|

DTFT가 존재하려면? ..

만족해야 함

 

문제

오메가는 라디안 프리퀀시 .. 연속적임

=> DFT 사용

하지만 얘는 느림

=> FFT 사용

 

FFT (Fast Fourier Transform)

- 1965, Cooley와 Turkey

- DSP 시스템이 실시간에 작동하도록 만들어줌

 

ex.

x[n] = δ[n]

=> DTFT 취하면 X(Ω) = 1 .. 모든 주파수 대역에 영향을 끼침

=> White noise .. 반대를 color noise라 함

 

x[n] = δ[n-n0]  => e^-njΩ

x[n] = {1, 0, 3, 2} => 1 + 3e^-j2Ω -2e^j3Ω

x[n] = a^nu[n] => 1/(1-ae^-jΩ)

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DTFT Properties

- Periodity

2𝜋 주기성을 가짐

 

- Euler's identity

e^-jnΩ = cos(nΩ) - jsin(nΩ) = ( cos(Ω) - jsin(Ω) )^n

 

- Linerity

ax1[n] + bx2[n] <=> aX1(Ω) + bX2(Ω)

 

- Shifting property

x[n-n0] <=> e^-jnΩX(Ω)

 

- Time-reversal

x[-n] <=> x(-Ω)

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Convolution

y[n] = x[n]*h[n]

<=>

Y(Ω) = X(Ω) x H(Ω)