Fourier Transform / DTFT, FFT 등..

DTFT (Discrete Time Fourier Transform)

x[n]이라는 디스크리트 타임 시그널이 있을 때 

X(Ω) = 시그마 ..(-∞~∞) x[n]e^(-jnΩ)

 

이때 Frequency spectrum은 |X(Ω)|

절댓값 씌워서 magnitude

 

근데 DTFT는 문제가 있음

X 오메가는 아날로그 함수임 => 디지털 컴퓨터로 정확하게 계산 불가능

=> Approximation 해야 함 (DFT)

 

DFT

Discrete Fourier Transform

수식에서 Ω 부분이 n으로 이산화 되어 있음

n개의 값으로 주파수 계산 가능

 

원래 스펙트럼은 연속으로 나오는 게 맞음 => DTFT가 맞음

디지털로 정확히 표현 못하니까 N-Point로 근사하는 거

N은 256, 512, 1024 ....

DFT는 에러가 있을 수밖에 없고, 줄이려면 N 포인트를 늘리면 됨

 

한가지 문제가 더 있는데, 복소수가 들어가는 등 느림 => 실시간 연산이 안됨

=> FFT (Fast Fourier Transform) .. DFT 빠르게 계산하는 거

 

FFT

1965년 Cooley와 Turkey에 의해 개발

FFT가 실시간으로 DSP 사용 가능하도록 만들었음

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z-transform

주어진 디지털 시스템이 있을 때 얼마나 안정적으로 동작하느냐를 따질 때 사용