Discrete-time system properties

Additivity

- T[ x1[n] + x2[n] ] = T[x1[n]] + T[x2[n]]

 

Homogenity

- T[cx[n]] = cT[x[n]]

 

Linerity

- T[ c1x1[n] + c2x2[n] ] = c1T[x1[n]] + c2T[x2[n]]

 

Time-invariance

y[n-n0] = T[x[n-n0]]

 

LTI (Linear time-invariant) system

- 선형성이랑 시불변성 둘 다 만족하는 시스템

- LTI 시스템이면 ..

*은 곱하기가 아니라 convulution

 

Cauality

- 시스템이 과거의 인풋을 참조하면 만족하지 않음 (ex. y[n] = x[n] + x[n + 1])

- LTI 시스템에서 h[n]이 0 미만일 때 0이면 만족

 

Stability

- BIBO (Bounded Input Bounded output)

- 입력 범위가 제한되면 출력 또한 제한됨 (|x[n]| <= A -> |y[n]| <= B .. A와 B는 무한보다 작음)

- LTI 시스템에선 임펄스 리스폰스의 절댓값 총합이 무한보다 작으면 만족함

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System representation

- Impulse response

- Linear Difference Equation

 

Linear Difference Equation

y[n] + a1y[n-1] + .... + aNy[n-N] = b0[xn] + .... bMx[n-M]

 

IIR (Infinite Impulse Response)

- 임펄스 리스폰스가 무한함

- 출력이 입력과 출력 둘 다에 의존함 (Recursive)

 

FIR (Finite Impulse Response)

- 임펄스 리스폰스의 구간이 한정됨

- 출력이 입력에만 의존함

 

Impulse response

입력을 임펄스 펑션으로 주었을 때 출력 (Non-recursive)

 

예시.  FIR, IIR

1. y[n] = 0.25(x[n] + x[n-1] + x[n-2] + x[n-3])

=> h[n] = {0.25, 0.25, 0.25, 0.25}

FIR

 

2. y[n] - 0.4y[n-1] = x[n] - x[n-1]

IIR, h[n]은 잔뜩 뭐가 나옴

 

3. y[n] - ay[n-1] = x[n]

h[0] = ah[-1] + δ[0] = 1

h[1] = ah[0] + δ[1] = a

h[2] = a^2

....

h[n] = a^nu[n]

IIR

 

예시. FIR, IIR인지 구하고 stability와 causality를 만족하는지

1. h[n] = {2, 1, 1, 3}

- FIR (구간이 한정됨)

- stability 만족 (다 더해도 무한보다 작음)

- causality 불만족 (n < 0 일 때 h[n]에서 0이 아닌 값이 존재)

 

2. h[n] = (-0.5)^nu[n]

- IIR

- stability 만족 (다 더해도 무한보다 작음 .. 1/(1-0.5) = 2)

- causality 만족 (유닛 스텝 펑션 곱해짐)

 

3. h[n] = (1.3)^nu[n]

- IIR

- stability 불만족 (1보다 큰 수의 지수형이라 다 더하면 무한)

- causality 만족 (유닛 스텝 펑션 곱해짐)